几千年来，形与数一直是数学最核心的研究对象。笛卡尔引入了坐标，将形与数有机的关联起来，后在函数概念的基础上，发展出了古典的分析学。然而我们追根溯源，会发现数可以理解成算术表达式的一种典范形式：举例来说，在十位进制下的数位制中，我们有
$$ 115 = 1 \times 10^2+ 1 \times 10 + 5 $$
即，数是算术表达式的一种凝聚下来的写法。
于是，我们也可以认为实数是算术表达式几何化的一种特例。那么除了这个例子，究竟还有没有算术表达式的其他几何化方式呢？在本文我们将会给出一个思路。
事情可以追溯到 2015 年底，当时我在上海短居。在考虑用词向量技术表达整数的时候，我发现可以构造一种有趣的、双曲平面上的离散结构。当看到那些蜿蜒到无穷的折线和均匀的数值分布时，我意识到可能发现了一个有着丰富内涵的数学结构。其后的几年我一直在反复琢磨它。
2019 年 10 月底我去美国出差，11 月初在回国的飞机上，我偶然发现了这种构造方式可以推广到无穷小。一两天后，我得到了双曲平面上无穷小生成结构的流方程。和中山大学的蒋文峰老师讨论后，他给到我很多好的建议，鼓励我一步步走下去。
2019 年底到 2020 年夏，我在努力把这个结果应用到一种重要的神经网络上—残差网络，可以得到一类特殊的网络架构来解决演化问题。几个月的努力，逐步得到了一些有趣的神经网络架构，虽然在一些演化问题上它还没有达到工业界的最佳水平，但也有着良好的性能，至少可以说明这种几何化的想法在实践中是可行的。这些应用角度的努力，也可以从理论角度给予解读，是在探索另外一种微积分的可能性。
2020 年底，在和英国的刘宇老师讨论后，他问了我几个特别好的问题，促使我重新思考，结果发现无穷小生成元的选择是自由的，这样就导出了一个非常深刻的管型构造，这个管型构造能和多项式联系起来，是一种纤维结构。但是这些几何构造还仅仅存在于设想中，它还欠缺一个严密的理论基础和经过证明的实例。
于是，在2021 年初，我从公司（彩云科技）争取了三个月的时间，在实习生张乐和张怀公的帮助下，我们一起找到了第一个严格的、可以解算的实例（张乐的工作），也找到了一般情况下的表述方法（张怀公的工作）。
本文会沿着真实思路发展的线索，陈述这个算术表达式几何化的想法。在结束的最后陈言部分，我们对研究的意义与未来方向给予探讨。我们还在另外撰写一篇类似的英文文档。
有一种理解，算术表达式的计算过程比它的计算结果包含了更为丰富的信息，简单说，就是“过程比结果更重要”。在此，我也想表达，如果我们的历程是数字丛林里的一次探险，那么探险的事业永远没有止境。
附记：2022 年所有博士申请的尝试都失败了，我把博士申请的材料附于此。不管怎样，都还会继续前行，我也在寻找合作研究者和合作机会。
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