算术表达式的几何

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几千年来,形与数一直是数学最核心的研究对象。笛卡尔引入了坐标,将形与数有机的关联起来,后在函数概念的基础上,发展出了古典的分析学。 然而我们追根溯源,会发现数其实是算术表达式的一种典范形式:举例来说,在十位进制下的数位制中,我们有

$$ 115 = 1 \times 10^2+ 1 \times 10 + 5 $$

即,数是算术表达式的一种凝聚下来的写法。

于是,我们也可以认为笛卡尔坐标是算术表达式几何化的一种特例。 那么除了这个例子,究竟还有没有算术表达式的其他几何化方式呢? 在本文我们将会给出一个思路。

事情可以追溯到 2015 年底,当时我在上海短居。在考虑用词向量技术表达整数的时候,我发现可以构造一种有趣的、双曲平面上的离散结构。 当看到那些蜿蜒到无穷的折线和均匀的数值分布时,我意识到可能发现了一个有着丰富内涵的数学结构。其后的几年我一直在反复琢磨它。

2019 年 10 月底我去美国出差,11 月初在回国的飞机上,我偶然发现了这种构造方式可以推广到无穷小。 一两天后,我得到了双曲平面上无穷小生成结构的流方程。和中山大学的蒋文峰老师讨论后,他给到我很多好的建议,鼓励我一步步走下去。

2019 年底到 2020 年夏,我在努力把这个结果应用到一种重要的神经网络上—残差网络,可以得到一类特殊的网络架构来解决演化问题。 几个月的努力,逐步得到了一些有趣的神经网络架构,虽然在一些演化问题上它还没有达到工业界的最佳水平,但也有着良好的性能, 至少可以说明这种几何化的想法在实践中是可行的。这些应用角度的努力,也可以从理论角度给予解读,是在探索另外一种微积分的可能性。

2020 年底,在和英国的刘宇老师讨论后,他问了我几个特别好的问题,促使我重新思考,结果发现无穷小生成元的选择是自由的, 这样就导出了一个非常深刻的管型构造,这个管型构造能和多项式联系起来,是一种纤维结构。 但是这些几何构造还仅仅存在于设想中,它还欠缺一个严密的理论基础和经过证明的实例。

于是,在2021 年初,我从公司(彩云科技)争取了三个月的时间,在实习生张乐和张怀公的帮助下,我们一起找到了第一个严格的、 可以解算的实例(张乐的工作),也找到了一般情况下的表述方法(张怀公的工作)。

本文会沿着真实思路发展的线索,陈述这个算术表达式几何化的想法。在结束的最后陈言部分,我们对研究的意义与未来方向给予探讨。 我们还在另外撰写一篇类似的英文文档。

有一种理解,算术表达式的计算过程比它的计算结果包含了更为丰富的信息,简单说,就是“过程比结果更重要”。 在此,我也想表达,如果我们的历程是数字丛林里的一次探险,那么探险的事业永远没有止境。

附记:2022 年所有博士申请的尝试都失败了,我把博士申请的材料附于此。 不管怎样,都还会继续前行,我也在寻找合作研究者和合作机会。

有意者请联系我,发邮件至我