学习与停机问题
2022-10-28在笔者翻译的《有效过程与自然法则》译后记中，我提及一篇少为人知的论文
1996 年 R. Lathrop 在 ICML 上发表了 On the Learnability of the Uncomputable ，论文表明通过分析程序运行的时空行为， 在概率意义上停机问题可学习。论文在可计算性和可学习性之间给我们找到了一块落脚石，同时论文的分析方法和算法信息论(AIT)里 Chaitin 常数 Ω 的渐进可计算性似乎有更进一步的联系。
在之前相关的文稿中，我有这样几段话，我把它们列在一起，来表明我的一种一致的观点
在工程实践中，我们有两种方式使用一个计算机程序。一种是使用它的最终效果，一种是使用它的计算过程。前者的例子是程序库的各种标准例程， 比如 sin、cos 等等，我们不在乎它的实现细节和计算的中间状态，只在乎最终结果。后者的例子是打游戏，游戏程序循环的每一步， 都导致我们用户在音视频上的某种体验，整个计算过程都是我们需要的。
但在可计算性的理论里，我们仅仅考虑的是能够停机的偏函数，为什么我们不能考察整个计算过程呢?我的理解是，我们缺乏一种数学语言， 去刻画一个计算过程。这种数学语言的缺失，很早很早之前就埋在了数学的发展中。
人们常说，数和形是数学的基本主题。让我们看一下数的早期历史。从石器时代非洲的骨刻，我们可以看到数的概念表征和计算过程是浑然一体的， 这种表征非常繁琐，计算的能力也非常有限。其后，数的表征，经过古埃及的不成熟形态，到达了古巴比伦的数位制。在这个历史过程里， 人们遗忘了一个隐藏的巨大世界—那就是表达式，或者说计算过程。数作为一种表征，本来就是计算过程的高度凝练的表达，但它一旦符号化后， 就成为我们追求的目标。于是，我们往往关注计算过程的结果，而忽视了过程本身蕴含的众多信息。
过程比结果更重要。
算术表达式的几何提供了一种可能，在这里计算过程可以被实现为一个几何上的流。